|
|
 |
Условие
Выпуклый фанерный многоугольник P лежит на деревянном столе. В стол можно вбивать гвозди, которые не должны проходить через P, но могут касаться его границы. Фиксирующим называется набор гвоздей, не позволяющий двигать P по столу. Найдите минимальное количество гвоздей, позволяющее зафиксировать любой выпуклый многоугольник.
Решение
Если P – параллелограмм, то нужно не менее четырёх гвоздей. Действительно, если некоторая его сторона не касается никакого гвоздя, то P можно двигать в направлении двух смежных с ней сторон.
Покажем, что любой выпуклый многоугольник P можно зафиксировать четырьмя гвоздями.
Пусть окружность Ω с центром O – наибольшая из окружностей, лежащих внутри P, A1, A2, ..., Ak – точки касания Ω со сторонами P, H – выпуклая оболочка этих точек.
Предположим, что существуют такие две вершины U и V многоугольника H, что UV – диаметр Ω (рис. слева). Вобьём два гвоздя в точки U и V. Очевидно, что стороны P, содержащие U и V, параллельны, следовательно, P можно двигать только в направлении, перпендикулярном UV. Чтобы зафиксировать P, достаточно вбить еще два гвоздя, препятствующие его движению влево и вправо от прямой UV.
Предположим, что O ∉ H. Пусть PQ – сторона H, разделяющая H и O, а касательные к Ω в точках P и Q пересекаются в точке T. Тогда существует гомотетия с центром T и коэффициентом, большим 1, переводящая Ω в большую окружность, лежащую внутри P. Противоречие.
Таким образом, O ∈ H. Тогда существует треугольник ABC, содержащий O (рис. справа). (A, B, C – точки касания Ω со сторонами P.) Легко видеть, что три гвоздя, вбитые в точки A, B и C, фиксируют P.
