|
|
|
Условие
На сторонах квадрата отложили четыре равных отрезка (как на рисунке). Докажите, что два отмеченных угла равны.
Решение 1
Отложим на стороне AB отрезок BN = AP (рис справа). Заметим, что KLMN – квадрат, а угол CML равен углу AKN. (Это следует из того, что прямоугольные треугольники AKN, CML, BNM и DLK равны по двум катетам; или из того, что картинка переходит в себя при повороте большого квадрата на 90°.) Осталось доказать, что углы AKN и MKP равны. Но, действительно, ∠AKN = ∠NKP + ∠AKP = ∠NKP + 45°, а
∠MKP = ∠NKP + ∠MKN = ∠NKP + 45° (угол MKN равен 45°, так как треугольник MKN равнобедренный прямоугольный).
Решение 2
Пусть ∠CML = α (рис. слева). Прямоугольные треугольники DLK и CML равны по двум катетам. Поэтому ∠DKL = 90° – α, а
∠KLM = 180° – α – (90° – α) = 90°. Отсюда видно, что треугольник KLM – равнобедренный прямоугольный. Значит, ∠LKM = 45°. Угол AKP тоже равен 45° как угол равнобедренного прямоугольного треугольника. Поэтому ∠PKM = 180° – 45° – 45° – (90° – α) = α.
