ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64838
Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Средние величины ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие десять попарно различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя
  а) ровно в шесть раз;
  б) ровно в пять раз?


Решение

  а) Например, 1, 2, ..., 9, 15. Сумма их равна 60, среднее арифметическое – 6, а НОД равен 1.

  б) Пусть НОД десяти чисел  a1 < a2 < ... < a10  равен d. Тогда  a1da2 ≥ 2d,  ...,  a10 ≥ 10d.  Значит, сумма этих чисел не меньше 55d, а среднее арифметическое не меньше 5,5d.


Ответ

а) Существуют;  б) не существуют.

Замечания

баллы: 2 + 2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 36
Дата 2014/15
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 36
Дата 2014/15
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .