Задача 64844

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Даны N прямоугольных треугольников  (N > 1).  У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что все исходные треугольники подобны.

Решение

  Рассмотрим случай  N = 3  (общий случай разбирается точно так же). Приставим треугольники ABC, CDE и EFG друг к другу так, как показано на рисунке.

  При этом AK – сумма “первых” катетов, а KG – сумма “вторых”. По условию,  AC + CE + EG = AG,  то есть точки C и E лежат на отрезке AG. Следовательно,
∠CAB = ∠ECD = ∠GEF,  что и требовалось.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	36
Дата	2014/15
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4