ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64853
Темы:    [ Произведения и факториалы ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.


Решение

  Оценка. Пусть записаны числа a1, a2, ..., a100. Положим  bi = ai – a1.  Многочлен сотой степени  P(x) = x(x + b2)...(x + b100)  не может принимать одно значение более 100 раз. Но по условию он принимает одно и то же значение в точках  a1a1 + 1,  a1 + 2,  ...,  a1 + k.  Следовательно,  k ≤ 99.
  Пример. Пусть записаны числа –99, –98, ..., – 1, 0. Тогда при прибавлении к ним от одной до 99 единиц произведение полученных чисел равно нулю.


Ответ

99.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 36
Дата 2014/15
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .