ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64855
Темы:    [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Петя подсчитал количество всех возможных m-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только четыре буквы T, O, W и N, причём в каждом слове букв T и O поровну. Вася подсчитал количество всех возможных 2m-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только две буквы T и O, и в каждом слове этих букв поровну. У кого слов получилось больше? (Слово – это любая последовательность букв.)


Решение

  Установим взаимно-однозначное соответствие между словами Пети и Васи. Разобьём Васино слово из 2m букв на блоки из двух букв. Заменим каждый блок TT на букву T, блок OO – на букву O, блок TO – на букву W, и блок OT – на букву N. Получится слово из m букв, в котором букв T и O поровну (изначально их было поровну, замена блоков TO и OT убирает равное число букв T и O, а значит, и блоков TT будет столько же, сколько блоков OO). Итак, каждому слову Васи мы сопоставили слово Пети.
  Наоборот, по каждому m-буквенному слову Пети легко восстановить, из какого слова Васи оно получилось по описанному выше правилу: надо заменить буквы по правилу  T → TT,  O → OO,  W → TO,  N → OT.


Ответ

Слов получилось поровну.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 36
Дата 2014/15
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .