ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64861
Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Двугранный угол ]
[ Площадь и ортогональная проекция ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
[ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.


Решение

Будем считать, что наибольшая из площадей граней тетраэдра равна 1; обозначим эту грань через F. Пусть S1, S2 и S3 – площади остальных трёх граней, а α1, α2 и α3 – соответственно двугранные углы, образованные этими гранями с F. Проектируя эти три грани на F, получаем, что
S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 = 1.  Следовательно, одно из выражений вида  Si cos αi  не меньше ⅓, то есть  cos αi1/Si ≥ ⅓.  В правильном тетраэдре все три выражения равны, как и все четыре площади, так что в нём косинус двугранного угла равен ⅓.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2014
класс
Класс 10
задача
Номер 10.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .