Задача 64861
|
|
 |
Условие
Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.
Решение
Будем считать, что наибольшая из площадей граней тетраэдра равна 1; обозначим эту грань через F. Пусть S1, S2 и S3 – площади остальных трёх граней, а α1, α2 и α3 – соответственно двугранные углы, образованные этими гранями с F. Проектируя эти три грани на F, получаем, что
S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 = 1. Следовательно, одно из выражений вида Si cos αi не меньше ⅓, то есть cos αi ≥ 1/Si ≥ ⅓. В правильном тетраэдре все три выражения равны, как и все четыре площади, так что в нём косинус двугранного угла равен ⅓.
