Задача 64872

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Окружности ω₁ и ω₂, касающиеся внешним образом в точке L, вписаны в угол BAC. Окружность ω₁ касается луча AB в точке E, а окружность ω₂ – луча AC в точке M. Прямая EL пересекает повторно окружность ω₂ в точке Q. Докажите, что  MQ || AL.

Решение

Пусть N – вторая точка пересечения ω₁ с AL (см. рис.). Тогда композиция симметрии относительно AL и гомотетии с центром A переводит дугу NE в дугу LM. Следовательно, опирающиеся на эти дуги углы ALE и MQE равны, что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
тур
задача
Номер	9