Через точку, расположенную внутри треугольника, проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три треугольника и три четырёхугольника. Пусть a, b и c – параллельные высоты трёх этих треугольников. Найдите параллельную им высоту исходного треугольника.

   Решение

Лёша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что "замыкающий" пятый треугольник – равнобедренный (см. рис., равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лёшиного треугольника?

   Решение

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Окружности ω₁ и ω₂, касающиеся внешним образом в точке L, вписаны в угол BAC. Окружность ω₁ касается луча AB в точке E, а окружность ω₂ – луча AC в точке M. Прямая EL пересекает повторно окружность ω₂ в точке Q. Докажите, что  MQ || AL.

Решение

Пусть N – вторая точка пересечения ω₁ с AL (см. рис.). Тогда композиция симметрии относительно AL и гомотетии с центром A переводит дугу NE в дугу LM. Следовательно, опирающиеся на эти дуги углы ALE и MQE равны, что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования