Задача 64874

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Плотников М.

Точки K, L, M и N на сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD образуют еще один квадрат. DK пересекает NM в точке E, а KC пересекает LM в точке F.
Докажите, что  EF || AB.

Решение

Обозначим точки пересечения прямых MN и LM с прямой AB как P и Q соответственно. Треугольники AKN, BLK, CML и DMN равны по гипотенузе и острому углу. Пусть  AK = a  и  BK = b,  тогда  BL = CM = DN = a,  CL = MD = NA = b.  Поскольку треугольники PKN и QLK – прямоугольные,  PA·a = b²  и  BQ·b = a².  Из подобия треугольников PEK и MED получим, что     а из подобия треугольников QFK и MFC следует, что     Значит,  KE : DE = FK : CF  и  EF || AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
тур
задача
Номер	11