Задача 64896

Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

Условие

На столе выложены в ряд 64 гирьки, причём масса двух любых соседних гирек отличается на 1 г. Требуется разложить гирьки на две кучки с равными массами и равным количеством гирь. Всегда ли это удастся?

Решение

Разобьём все гири на четвёрки гирь, стоящих подряд. Рассмотрим любую из этих четвёрок. Положим первые две гири в разные кучки (большую – в первую кучку, а меньшую – во вторую) и следующие две гири также положим в разные кучки, но наоборот (меньшую – в первую кучку, а большую – во вторую). Так как модуль разности между массами первой и второй гирь равен модулю разности между массами третьей и четвёртой гирь, то мы положили в обе кучки по две гири одинакого суммарного веса. Так же поступим с остальными четвёрками.

Ответ

Всегда.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	11
задача
Номер	11.3.3