Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны d_a, d_b и d_c. Докажите, что  d_a + d_b + d_c = R + r.

   Решение

Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка с концами в точках P(-1;2;5) и Q(3;-4;1) перпендикулярно прямой, проходящей через точки A(0;-2;-1) и B(3;2;-1) .

   Решение

Точки M и N таковы, что  AM : BM : CM = AN : BN : CN. Докажите, что прямая MN проходит через центр O описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Окружность с центром I касается сторон AB, BC, CA треугольника ABC в точках C₁, A₁, B₁. Прямые AI, CI, B₁I пересекают A₁C₁ в точках X, Y, Z соответственно. Докажите, что  ∠YB₁Z = ∠XB₁Z.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность с центром I касается сторон AB, BC, CA треугольника ABC в точках C₁, A₁, B₁. Прямые AI, CI, B₁I пересекают A₁C₁ в точках X, Y, Z соответственно. Докажите, что  ∠YB₁Z = ∠XB₁Z.

Решение

Так как  B₁I ⊥ AC,  достаточно доказать, что  ∠YB₁A = ∠XB₁C.  Так как CI – серединный перпендикуляр к A₁B₁, то  ∠YB₁C = ∠YA₁C.  Значит,
∠YB₁A = ∠C₁A₁B  (см. рис.). Аналогично  ∠XB₁C = ∠A₁C₁B = ∠C₁A₁B.

Источники и прецеденты использования