Задача 64910

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Пусть BM – медиана прямоугольного треугольника ABC  (∠B = 90°).  Окружность, вписанная в треугольник ABM, касается сторон AB, AM в точках A₁, A₂; аналогично определяются точки C₁, C₂. Докажите, что прямые A₁A₂ и C₁C₂ пересекаются на биссектрисе угла ABC.

Решение

Так как треугольники ABM, CBM – равнобедренные, точки A₁, C₁ – середины соответствующих катетов. Кроме того, прямая A₁A₂ перпендикулярна биссектрисе угла A и, значит, является биссектрисой угла AA₁C₁ (см. рис.). Аналогично C₁C₂ – биссектриса угла CC₁A₁. Следовательно, точка их пересечения – центр вневписанной окружности треугольника A₁BC₁ – лежит на биссектрисе угла B.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
тур
задача
Номер	8