ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64912
Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Малые шевеления ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике все стороны и все углы попарно различны.
  а) Может ли наибольший угол примыкать к наибольшей стороне, и при этом наименьший – к наименьшей?
  б) Может ли наибольший угол не примыкать к наименьшей стороне, и при этом наименьший не примыкать к наибольшей?


Решение

а) Рассмотрим треугольник ABC, в котором  AC > BC > AB.  Возьмём на отрезке AC такую точку P, что  AP = BC,  восставим из неё перпендикуляр к AC и возьмём на этом перпендикуляре точку D, лежащую вне треугольника и достаточно близкую к P. Тогда в четырёхугольнике ABCD  AD – наибольшая сторона, CD – наименьшая, D – наибольший угол, C – наименьший (см. рис.).

б) Предположим, что ABCD – четырёхугольник, удовлетворяющий условию. Без ограничения общности можно считать, что угол B наибольший, а сторона CD наименьшая. Тогда из равенства  AC2 = AB² + BC² – 2AB·BC cos B = AD² + CD² – 2AD·CD cos D  следует, что AD – наибольшая сторона и, значит, C – наименьший угол. Так как  ∠ C + ∠ D < π,  лучи CB и DA пересекаются в некоторой точке P. Так как угол C острый и  ∠ C + ∠ A < π,  то   sin A > sin C.  Поскольку  PB : sin A = AB : sin P > CD : sin P = PD : sin C,  из этого следует, что  PB > PD.  Но  PB = PC – BC < PC – CD < PD. Противоречие.


Ответ

а) Может;  б) не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2012
тур
задача
Номер 10

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .