|
|
 |
Условие
В выпуклом четырёхугольнике все стороны и все углы попарно различны.
а) Может ли наибольший угол примыкать к наибольшей стороне, и при этом наименьший – к наименьшей?
б) Может ли наибольший угол не примыкать к наименьшей стороне, и при этом наименьший не примыкать к наибольшей?
Решение
а) Рассмотрим треугольник ABC, в котором AC > BC > AB. Возьмём на отрезке AC такую точку P, что AP = BC, восставим из неё перпендикуляр к AC и возьмём на этом перпендикуляре точку D, лежащую вне треугольника и достаточно близкую к P. Тогда в четырёхугольнике ABCD AD – наибольшая сторона, CD – наименьшая, D – наибольший угол, C – наименьший (см. рис.).
б) Предположим, что ABCD – четырёхугольник, удовлетворяющий условию. Без ограничения общности можно считать, что угол B наибольший, а сторона CD наименьшая. Тогда из равенства AC2 = AB² + BC² – 2AB·BC cos B = AD² + CD² – 2AD·CD cos D следует, что AD – наибольшая сторона и, значит, C – наименьший угол. Так как ∠ C + ∠ D < π, лучи CB и DA пересекаются в некоторой точке P. Так как угол C острый и ∠ C + ∠ A < π, то sin A > sin C. Поскольку PB : sin A = AB : sin P > CD : sin P = PD : sin C, из этого следует, что PB > PD. Но PB = PC – BC < PC – CD < PD. Противоречие.
Ответ
а) Может; б) не может.
