|
|
 |
Условие
На плоскости начерчен треугольник и в нём отмечены две точки. Известно, что какой-то из углов треугольника равен 58°, какой-то из остальных – 59°, какая-то из отмеченных точек является центром вписанной окружности, а другая – центром описанной. Используя только линейку без делений, определите, где какой угол и где какая точка.
Решение
Пусть в треугольнике ABC ∠A = 58°, ∠B = 59°, I – центр вписанной окружности, O – центр описанной. Тогда ∠C = 63°, AB – наибольшая сторона, BC – наименьшая. Поскольку
∠OAB = ∠OBA = 27° < ∠IAB < ∠IBA, то O лежит в треугольнике AIB. Поскольку
∠IBC < ∠ICB < 32° = ∠OBC = ∠OCB, то I лежит в треугольнике BOC. Значит, прямая OI пересекает cтороны AB и BC и, следовательно, пересекает продолжение стороны AC. При этом O лежит ближе к AB, а I – к BC.
Пусть r и R – радиусы вписанной и описанной окружности. Перпендикуляр, опущенный из точки I на прямую AC, равен r, а перпендикуляр, опущенный из точки O на эту прямую, равен R cos 59° > R/2 > r (см. задачу 77874). Следовательно, прямая OI пересекает продолжение стороны AC за вершину C.
Отсюда получаем следующий способ решения. Проведём прямую через отмеченные точки. Она пересечёт две стороны треугольника и продолжение третьей. Ближайшую к последней точке пересечения вершину третьей стороны обозначим C, а другую – B. Третью вершину треугольника обозначим A. Тогда ∠A = 58°, ∠B = 59°, а центром вписанной окружности является та из отмеченных точек, которая ближе к BC.
