ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64924
Темы:    [ Окружности, вписанные в сегмент ]
[ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Нилов Ф.

В сегмент, ограниченный хордой и дугой AB окружности, вписана окружность ω с центром I. Обозначим середину указанной дуги AB через M, а середину дополнительной дуги через N. Из точки N проведены две прямые, касающиеся ω в точках C и D. Противоположные стороны AD и BC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Y, а его диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что точки X, Y, I и M лежат на одной прямой.


Решение

Пусть K, L – точки касания ω с прямой AB и большой окружностью. Так как L – центр гомотетии окружностей, а касательные к ним в точках K и N параллельны, точки L, K, N лежат на одной прямой. При этом  ∠KAN = ∠NLA  (эти углы опираются на равные дуги). Значит, треугольники KAN и ALN подобны и  AN² = NK·NL = NC²,  то есть четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром N (см. рис.). Относительно этой окружности прямая XY является полярой точки пересечения AB и CD. При этом, поскольку  ∠NAM = ∠NBM = 90° = ∠NCI = ∠NDI,  точки M и I являются полюсами прямых AB и CD и, следовательно, лежат на XY.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2012
тур
задача
Номер 22

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .