|
|
 |
Условие
В сегмент, ограниченный хордой и дугой AB окружности, вписана окружность ω с центром I. Обозначим середину указанной дуги AB через M, а середину дополнительной дуги через N. Из точки N проведены две прямые, касающиеся ω в точках C и D. Противоположные стороны AD и BC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Y, а его диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что точки X, Y, I и M лежат на одной прямой.
Решение
Пусть K, L – точки касания ω с прямой AB и большой окружностью. Так как L – центр гомотетии окружностей, а касательные к ним в точках K и N параллельны, точки L, K, N лежат на одной прямой. При этом ∠KAN = ∠NLA (эти углы опираются на равные дуги). Значит, треугольники KAN и ALN подобны и AN² = NK·NL = NC², то есть четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром N (см. рис.). Относительно этой окружности прямая XY является полярой точки пересечения AB и CD. При этом, поскольку ∠NAM = ∠NBM = 90° = ∠NCI = ∠NDI, точки M и I являются полюсами прямых AB и CD и, следовательно, лежат на XY.
