|
|
 |
Условие
На каждой из двенадцати диагоналей граней куба выбирается произвольная точка. Определяется центр тяжести этих двенадцати точек.
Найдите геометрическое место всех таких центров тяжести.
Решение
Заметим, что множеством середин отрезков, концы которых лежат на двух диагоналях квадрата, будет квадрат с вершинами в серединах сторон исходного. Поэтому множеством центров тяжести четырёх точек, лежащих на диагоналях двух противоположных граней куба, будет квадрат с вершинами в центрах четырёх остальных граней. Таким образом, задача равносильна определению ГМТ – центров тяжести трёх точек, каждая из которых выбирается в одном из трёх таких квадратов. Очевидно, что все такие центры тяжести лежат в октаэдре, образованном центрами граней куба. Кроме того, если одна из точек лежит в центральной плоскости этого октаэдра, а две другие удалены от этой плоскости на расстояние, не превышающее половины ребра куба, то расстояние от центра тяжести до плоскости не может быть больше трети ребра. Значит, все центры тяжести лежат в многограннике, полученном в результате отсечения от октаэдра шести четырёхугольных пирамидок с ребрами, равными одной трети ребра октаэдра. С другой стороны, все вершины этого многогранника, а, значит и все его внутренние точки принадлежат искомому ГМТ.
