ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64941
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли в кружках (см. рисунок) разместить различные натуральные числа таким образом, чтобы суммы трёх чисел вдоль каждого отрезка оказались равными?


Решение

Пусть требуемая расстановка существует, S – сумма всех расставленных чисел, a и b – числа, стоящие в кружках, расположенных в каких-либо двух вершинах треугольника. Тогда для той вершины, в которой стоит число a, сумма чисел вдоль трёх отрезков, содержащих эту вершину, равна  S + 2a.  Аналогично для вершины, в которой стоит число b, эта сумма равна  S + 2b.  Так как суммы чисел вдоль каждого отрезка равны, то  S + 2a = S + 2b,  то есть  a = b.  Но это противоречит условию.


Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2014
класс
Класс 7
задача
Номер 7.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .