Задача 64946

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике АВС угол В равен 120°,  АВ = 2ВС.  Серединный перпендикуляр к стороне АВ пересекает АС в точке D. Найдите отношение  AD : DC.

Решение

  Пусть M – середина стороны AB.

  Первый способ. Опустим перпендикуляр СН на прямую АВ (рис. слева). В прямоугольном треугольнике ВНС  ∠НВС = 60°,  поэтому
ВН = ½ ВС = ¼ АВ = ½ AM.  Значит,  НM : MА = 3 : 2.  Так как  MD || СН,  то по теореме Фалеса  СD : DA = НM : MА = 3 : 2.

     

  Второй способ. Продлим отрезок DM до пересечения с продолжением стороны BC в точке K (рис. справа). Так как точка K лежит на серединном перпендикуляре к АВ, то  KA = KB.  В равнобедренном треугольнике АKВ  ∠АВK = 60°,  значит, этот треугольник – равносторонний. Поэтому
KC = KB + BC = ½ AB + AB = ³/₂ AB = ³/₂ KA.  Высота KM треугольника АKВ является и его биссектрисой, значит, KD – биссектриса треугольника AKС. Следовательно,  СD : DA = KС : KА = 3 : 2.

Ответ

2 : 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2014
класс
Класс	8
задача
Номер	8.5