Задача 64954

Темы:    [ Деление с остатком ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Если разделить 2014 на 105, то в частном получится 19 и в остатке тоже 19.
На какие ещё натуральные числа можно разделить 2014, чтобы частное и остаток совпали?

Решение

  Если 2014 разделили на натуральное число N и получили в частном и в остатке натуральное число k, то  2014 = Nk + k = k(N + 1),  причём  k < N.  Следовательно, k – делитель числа 2014.
  Помимо 19 у числа  2014 = 2·19·53  есть ещё делители 1, 2 и 38, которые порождают такие примеры на деление:  2014 = 1·2014 = 2013·1 + 1,
2014 = 2·1007 = 1006·2 + 2  и  2014 = 38·53 = 52·38 + 38.
  Остальные делители числа 2014 (53, 106, 1007 и 2014) порождают значения N, не удовлетворяющие неравенству  k < N.

Ответ

На 52, на 1006 и на 2013.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2014
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1