Задача 64955
|
|
 |
Условие
Докажите, что если в выражении (x² – x + 1)2014 раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.
Решение 1
Найдём коэффициент при х в полученном многочлене. Подобные слагаемые с буквенной частью x образуются при перемножении 2014 одинаковых скобок следующим образом: в одной из скобок берется слагаемое – x, а в остальных скобках – слагаемое 1. Следовательно, коэффициент при х будет равен –2014.
Решение 2
Сумма коэффициентов полученного многочлена равна его значению при x = 1, то есть (1 – 1 + 1)2014 = 1. Но в этом многочлене коэффициент при x4028 и свободный член равны 1. Следовательно, должен быть хотя бы один отрицательный коэффициент.
