Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos 2 + cos 2 + cos 2 + 4 coscoscos + 1 = 0;
б)  cos² + cos² + cos² + 2 coscoscos = 1.
в) cos 2 + cos 2 + cos 2 = - , где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

   Решение

Тема:    [ Свойства коэффициентов многочлена ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если в выражении  (x² – x + 1)²⁰¹⁴  раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.

Решение 1

Найдём коэффициент при х в полученном многочлене. Подобные слагаемые с буквенной частью x образуются при перемножении 2014 одинаковых скобок следующим образом: в одной из скобок берется слагаемое  – x,  а в остальных скобках – слагаемое 1. Следовательно, коэффициент при х будет равен –2014.

Решение 2

Сумма коэффициентов полученного многочлена равна его значению при  x = 1,  то есть  (1 – 1 + 1)²⁰¹⁴ = 1.  Но в этом многочлене коэффициент при x⁴⁰²⁸ и свободный член равны 1. Следовательно, должен быть хотя бы один отрицательный коэффициент.

Источники и прецеденты использования