ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64956
Темы:    [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек: A, B, C, D, E и F. Известно, что отрезки AB и DE, BC и EF, CD и FA попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки и попарно равны.


Решение

  В плоскости АВС есть пара пересекающихся прямых АВ и ВС, которые соответственно параллельны прямым DE и EF в плоскости DEF. Следовательно, плоскости АВС и DEF параллельны, а CD и АF – отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, значит,  CD = АF.
  Аналогично доказывается, что  AB = DE  и   BC = EF.

Замечания

Условие расположения точек не в одной плоскости существенно. Например, "отрежем" от каждой вершины правильного треугольника со стороной 4 по правильному треугольнику со стороной 1 и получим шестиугольник ABCDEF, в котором выполняется попарная параллельность отрезков, но не выполняется их равенство.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2014
класс
Класс 10
задача
Номер 10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .