Задача 64973

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Построения одной линейкой ] [ Замечательное свойство трапеции ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Пользуясь только линейкой, разделите сторону квадратного стола на n равных частей. Линии можно проводить только на поверхности стола.

Решение

  Сначала разделим сторону пополам. Проведя диагонали, найдём центр O квадрата ABCD. Теперь пусть X – точка на стороне BC, Y – точка пересечения XO и AD, U – точка пересечения AX и BY, V – точка пересечения прямых UC и XY (рис. слева). Тогда прямая BV делит основания трапеции CYUX пополам. Соединив O с серединой CY, разделим пополам стороны AB и CD.

  Покажем, что если две противоположные стороны разделены на k равных частей, то их можно разделить на  k + 1  равных частей. Пусть
AX₁ = X₁X₂ = ... = X_k–1B,  DY₁ = Y₁Y₂ = ... = Y_k–1C.  Тогда по теореме Фалеса прямые  AY₁, X₁Y₂, ..., X_k–1C  делят диагональ BD на  k + 1  равных частей (рис. справа). Аналогично разделив вторую диагональ и проведя через соответствующие точки прямые, параллельные BC, разделим на
k + 1  равных частей сторону AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
класс
Класс	8
задача
Номер	8.8