|
|
 |
Условие
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Биссектрисы его углов образуют четырёхугольник, вписанный в окружность с центром I, а биссектрисы внешних углов – четырёхугольник, вписанный в окружность с центром J. Докажите, что O – середина отрезка IJ.
Решение
Пусть биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K, B и C – в точке L, C и D – в точке M, D и A – в точке N (см. рис.). Точки K и M равноудалены от прямых AD и BC, поэтому прямая KM – биссектриса угла между этими прямыми. Обозначив этот угол через φ, по теореме о внешнем угле получаем, что
∠LKM = ½ ∠B – φ/2 = ½ (π – ∠A) = ½ ∠C и, значит, ∠LIM = ∠C. С другой стороны, перпендикуляры, опущенные из точки L на BC и из точки M на CD, образуют с ML углы, равные ½ (π – ∠C), то есть треугольник, образованный этими перпендикулярами и ML, – равнобедренный с углом при вершине, равным углу C. Поэтому вершина этого треугольника совпадает с I. Таким образом, перпендикуляры, опущенные из вершин четырёхугольника KLMN на соответствующие стороны ABCD, проходят через I. Аналогично получаем, что перпендикуляры из вершин четырёхугольника, образованного внешними биссектрисами, проходят через J.
Замечания
Известно аналогичное утверждение для треугольника: центр описанной окружности является серединой отрезка между центром вписанной окружности и центром описанной окружности треугольника, образованного биссектрисами внешних углов.
