|
|
 |
Условие
Выпуклый n-угольник P, где n > 3, разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник описанный?
Решение
Лемма. Пусть выпуклый n-угольник разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него. Тогда у каждого из треугольников разбиения хотя бы одна сторона является стороной (а не диагональю) n-угольника.
Доказательство. Пусть треугольник разбиения имеет углы α ≤ β ≤ γ с вершинами A, B, C соответственно, причём AC и BC – диагонали n-угольника. К вершине C примыкают ещё хотя бы два угла треугольников разбиения. Если хотя бы один из них больше α, то сумма углов при вершине C не меньше γ + β + α = π > ∠C. Противоречие. Значит, все углы при вершине C, кроме ∠ACB, равны α, причём α < β.
Рассмотрим второй треугольник разбиения, примыкающий к BC. Так как он равен треугольнику ABC, то против стороны BC в нём лежит угол, равный α. Но угол при вершине C в этом треугольнике также равен α. Противоречие.
Так как сумма углов многоугольника P равна π(n – 2) и они складываются из всех углов треугольников разбиения, то количество этих треугольников равно n – 2. По лемме в каждом из этих треугольников хотя бы одна сторона является стороной P. Отсюда вытекает, что у двух треугольников разбиения по две стороны являются сторонами P.
Пусть KLM – один из этих треугольников, причём KL и LM – стороны P. К стороне KM примыкает другой треугольник разбиения KMN. Одна из его сторон (для определённости KN) является стороной P. Так как треугольники разбиения равны, то угол NKM равен либо углу LKM, либо углу KML. В первом случае KM – биссектриса угла описанного многоугольника P и потому содержит центр I вписанной окружности. Во втором случае KN || LM. Тогда I лежит на общем перпендикуляре к этим отрезкам и потому содержится (по выпуклости) в параллелограмме KLMN, а значит – хотя бы в одном из треугольников KLM, KMN.
Пусть K'L'M' – другой треугольник разбиения, две стороны которого являются сторонами P. Аналогично предыдущему, I содержится либо в этом, либо в смежном с ним треугольнике разбиения. Если I содержится хотя бы одном из треугольников KLM, K'L'M', то они имеют общую сторону, и тогда n = 4. В противном случае треугольник KMN – смежный с обоими этими треугольниками и содержит I. При этом сторона MN – общая с трекгольником K'L'M'; можно положить M = M', N = K'. Рассуждая как выше, получаем, что LM, KN, L'M параллельны друг другу. Но тогда соседние стороны LM и ML' лежат на одной прямой. Противоречие.
Ответ
n = 4.
Замечания
Из решения видно, что выпуклый четырёхугольник удовлетворяет условию задачи тогда и только тогда, когда он симметричен относительно одной из своих диагоналей.
