Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?

   Решение

Темы:    [ Неравенства с биссектрисами ] [ Неравенства для площади треугольника ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любого неравнобедренного треугольника   ,   где l₁, l₂ – наибольшая и наименьшая биссектрисы треугольника, S – его площадь.

Решение

  Пусть a > b > c – стороны треугольника, 2α, 2β, 2γ – соответствующие им углы. Пусть l – биссектриса наибольшего угла, тогда
S = ½ bc sin 2α = ½ (b + c)l sin α.  Отсюда и из аналогичных соотношений для других биссектрис видно, что l – наименьшая биссектриса, то есть
l = l₂.  Поэтому правое неравенство можно переписать в виде     или     Но  ^π/₆ < α < ^π/₂,  следовательно, левая часть больше 1, а правая меньше 1 по неравенству Коши.
  Так как  2γ < ^π/₃,  то     С другой стороны,     (поскольку  b > c,  то
b cos 2γ > ^a/₂).  Поэтому левое неравенство следует из того, что  

Источники и прецеденты использования