Задача 65009

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Швецов Д.В.

В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки I_b и I_c – центры вписанных окружностей треугольников ABH и CAH; L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LI_bI_c.

Решение

Пусть L_b, L_c – проекции точек I_b, I_c на BC, а r_b, r_c – радиусы вписанных окружностей треугольников AHB, AHC (см. рис.). Так как эти треугольники прямоугольные, то  r_b = ½ (AH + BH – AB),  r_c = ½ (AH + CH – AC),  r_b – r_c = ½ (BH – CH) – ½(AB – AC) = (BH – CH) – ½(BL – CL) = LH.  Следовательно,  I_bL_b = r_b = LL_c,  I_cL_c = r_c = LL_b, то есть треугольники LI_bL_b и I_cL_cL равны,  LI_b = LI_c  и  ∠I_bLI_c = 90°.  Таким образом, треугольник LI_bI_c – равнобедренный прямоугольный.

Ответ

45°

Замечания

Пусть I₁, I₂ – центры вписанных окружностей треугольников ABD и CBD (D – произвольная точка на AC); L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной AC. Тогда точки I₁, L, D и I₂ лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	8