Задача 65023

Темы:    [ Кривые второго порядка ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Окружность с центром F и парабола с фокусом F пересекаются в двух точках.
Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки A, B, C, D, что прямые AB, BC, CD и DA касаются параболы.

Решение

  Возьмём произвольную точку окружности A, лежащую вне параболы. Прямая AF и прямая, проходящая через A и параллельная оси l параболы, вторично пересекают окружность в точках, симметричных относительно оси l. Пусть касательные AM и AN к параболе пересекают окружность в точках B и D, а M₁ и N₁ – проекции точек M и N на директрису параболы. Тогда AM и AN – серединные перпендикуляры к FM₁ и FN₁, то есть A – центр описанной окружности треугольника FM₁N₁. Значит, ∠KAB = ∠FAM = ∠FN₁M₁ = ∠N₁NA = ∠DAL.  Поэтому дуги BK и DL равны, то есть точки B и D также симметричны относительно l.
  Аналогично получаем, что вторые касательные из B и D вторично пересекают окружность в точке C, симметричной A. Следовательно, A, B, C, D – искомые точки.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	22