|
|
 |
Условие
Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра.
Найдите отношение рёбер икосаэдров.
Решение
Заметим, что ни один из икосаэдров не может содержать четырёх вершин октаэдра. Действительно, среди четырёх вершин октаэдра обязательно найдутся две противоположные, а любая из остальных вершин образует с ними равнобедренный прямоугольный треугольник. Но среди вершин икосаэдра нельзя выбрать три вершины такого треугольника.
Таким образом, одному из данных икосаэдров принадлежат три вершины одной грани октаэдра, а другому – три вершины противоположной грани. Заметим теперь, что между вершинами икосаэдра существуют только три различных расстояния: одно равно ребру икосаэдра, другое – диагонали правильного пятиугольника со стороной, равной ребру, третье – расстоянию между противоположными вершинами. Правильный треугольник могут образовывать только вершины с расстояниями первых двух видов. Так как икосаэдры неравны, то для одного из них грань октаэдра совпадает с гранью, а для другого с треугольником, образованным диагоналями. Следовательно, отношение рёбер равно отношению диагонали правильного пятиугольника к его стороне, то есть .
Ответ
.
