ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65027
Темы:    [ Выпуклые многоугольники ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли выпуклый семиугольник, который можно разрезать на 2011 равных треугольников?


Решение 1

Пусть T – прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 1003, а один из катетов – 1. Из двух таких треугольников составим прямоугольник, а из 1003 таких прямоугольников – прямоугольник со стороной 1003. Теперь приложим к одной из сторон этого прямоугольника равнобедренный треугольник, составленный из двух треугольников, равных T, а к противоположной стороне четырёхугольник из трёх таких треугольников (см. рис.).


Решение 2

Возьмём квадрат со стороной 34 и отрежем от трёх его углов равнобедренные прямоугольные треугольники с катетами 3, 6 и 16. Получится семиугольник, который можно разрезать на равнобедренные прямоугольные треугольники с катетом 1, причём число этих треугольников равно
2·34² – 9 – 36 – 256 = 2011.


Решение 3

Пусть T – равнобедренный треугольник с основанием 1 и углом при вершине 120°. Тогда правильный треугольник со стороной 1 можно разрезать на три треугольника, равных T. С другой стороны, из 335 правильных треугольников можно сложить равнобедренную трапецию с основаниями 168 и 167 и боковыми сторонами 1. Две таких трапеции, соединенные большими основаниями, образуют выпуклый шестиугольник, составленный из 2010 треугольников, равных T. Приложив к его меньшей стороне ещё один такой треугольник, получим искомый семиугольник.


Ответ

Существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2011
тур
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .