Задача 65032

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Три окружности одного радиуса ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Акопян А.В.

Даны две единичные окружности ω₁ и ω₂, пересекающиеся в точках A и B. На окружности ω₁ взяли произвольную точку M, а на окружности ω₂ точку N. Через точки M и N провели ещё две единичные окружности ω₃ и ω₄. Обозначим повторное пересечение ω₁ и ω₃ через C, повторное пересечение окружностей ω₂ и ω₄ – через D. Докажите, что ACBD – параллелограмм.

Решение

Пусть O_i – центр окружности ω_i. Из условия следует, что O₁AO₂B, O₁CO₃M, O₃MO₄N, O₄NO₂D – ромбы со сторонами 1. Значит,     и   .   Следовательно,     что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
тур
задача
Номер	6