Задача 65034

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы:

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠B = 90°),  касается сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. A₂, C₂ – точки, симметричные точке B₁ относительно прямых BC, AB соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂, C₁C₂ пересекаются на медиане треугольника ABC.

Решение

Пусть I – центр вписанной окружности, P – точка пересечения прямой A₁A₂ с медианой BB₀ (см. рис.). Так как
∠IA₁P = ∠IA₁B₁ = ½ ∠C = ½ ∠PBA₁,  то  ∠BA₁P = 90° – ∠PBA₁,  а ∠BPA₁ = 180° – ∠PBA₁ – (90° – ½ ∠PBA₁) = 90° – ½ ∠PBA₁ = ∠BPA₁,  то есть
BP = BA₁.  Так как  BA₁ = BC₁,  прямая C₁C₂ тоже проходит через P.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
тур
задача
Номер	8