Задача 65036

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке O. На боковой стороне CD выбрана точка M, а на основаниях BC и AD – точки P и Q так, что отрезки MP и MQ параллельны диагоналям трапеции. Докажите, что прямая PQ проходит через точку O.

Решение

По теореме Фалеса  AQ : QD = CM : MD = CP : PB.  Значит,  AQ : PC = QB : PB = AD : BC = AO : CO.  Следовательно, треугольники AOQ и COP подобны и  ∠AOQ = ∠COP.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
тур
задача
Номер	10