Задача 65040

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

В треугольнике ABC высота и медиана, проведённые из вершины A, образуют (вместе с прямой BC) треугольник, в котором биссектриса угла A является медианой, а высота и медиана, проведённые из вершины B, образуют (вместе с прямой AC) треугольник, в котором биссектриса угла B является биссектрисой. Найдите отношение сторон треугольника ABC.

Решение

Так как биссектриса угла B делит пополам угол между высотой и медианой, то угол B – прямой. Значит, высота, проведённая из вершины A, совпадает со стороной AB, то есть биссектриса угла A делит сторону BC в отношении  1 : 3.  Следовательно, отношение  AB : AC  тоже равно  1 : 3.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
тур
задача
Номер	14