Задача 65051
|
|
 |
Условие
Три равных правильных тетраэдра имеют общий центр. Могут ли все грани многогранника, являющегося их пересечением, быть равны?
Решение
Пусть A, B, C, D – точки касания правильного тетраэдра с вписанной сферой. Повернув их на 120° относительно общего перпендикуляра к отрезкам AB и CD, получим точки A', B', C', D', а повернув на 240°, – точки A", B", C", D". Плоскости, касающиеся сферы в этих двенадцати точках, образуют три искомых тетраэдра.
Действительно, для любых двух из этих точек существует движение, переводящее все множество из двенадцати точек в себя, а одну из выбранных точек в другую. Такими движениями можно перевести любую грань полученного многогранника в любую другую.
Ответ
Могут.
