ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65053
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Удвоение медианы ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка К – середина гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точки L и М выбраны на катетах ВС и АС соответственно так, что  BL = СМ.  Докажите, что треугольник LMK – также прямоугольный равнобедренный.


Решение 1

Медиана CK треугольника ABC является также высотой и биссектрисой. Поэтому треугольники KBL и KCM равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  KL = KM,  ∠LKM = ∠BKC – ∠BKL + ∠CKM = ∠BKC = 90°,  что и требовалось.


Решение 2

Отразив картинку относительно точки K, мы получим квадрат ACBC' и вписанный в него квадрат LML'M', диагонали LL' и MM' которого пересекаются в точке K и делят его на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника. Один из них – треугольник LMK.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
год/номер
Номер 1 (2009 год)
тур
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .