ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65065
Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнены соотношения  AB = BD,  ∠ABD = ∠DBC.  На диагонали BD нашлась такая точка K, что  BK = BC.
Докажите, что  ∠KAD = ∠KCD.


Решение

Отложим на стороне AB отрезок < BE = BC.  Равнобедренные треугольники EBK и KBC равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому
EK = KC,  а  ∠AEK = 180° – ∠BEK = 180° – ∠BKC = ∠CKD.  Кроме того,  KD = EA.  Следовательно, треугольники AEK и DKC равны. Поскольку оба треугольника BEK и BAD – равнобедренные,  ∠BEK =  ∠BAD.  Поэтому  AD || EK,  откуда  ∠KAD = ∠EKA = ∠KCD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
год/номер
Номер 1 (2009 год)
тур
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .