Задача 65065

Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнены соотношения  AB = BD,  ∠ABD = ∠DBC.  На диагонали BD нашлась такая точка K, что  BK = BC.
Докажите, что  ∠KAD = ∠KCD.

Решение

Отложим на стороне AB отрезок < BE = BC.  Равнобедренные треугольники EBK и KBC равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому
EK = KC,  а  ∠AEK = 180° – ∠BEK = 180° – ∠BKC = ∠CKD.  Кроме того,  KD = EA.  Следовательно, треугольники AEK и DKC равны. Поскольку оба треугольника BEK и BAD – равнобедренные,  ∠BEK =  ∠BAD.  Поэтому  AD || EK,  откуда  ∠KAD = ∠EKA = ∠KCD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
год/номер
Номер	1 (2009 год)
тур
задача
Номер	6