ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65070
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC выбрана точка K так, что  AB = AK.  Отрезок AK пересекает биссектрису CL в её середине.
Найдите острые углы треугольника ABC.


Решение

  Обозначим середину биссектрисы CL через P, а угол ABC через β; тогда  ∠ACL = ½ (90° – β).  В прямоугольном треугольнике ACL отрезок AP является медианой, поэтому  AP = CP = LP.  Теперь из равнобедренных треугольников APL и ABK получаем
ALP = ∠LAP = ∠BAK = 180° – 2∠ABK = 180° – 2β.
  С другой стороны,  ∠ALP = ∠ABC + ∠LCB  как внешний угол в треугольнике BCL. Значит,  180° – 2β = β + ½ (90° – β),  откуда /2 = 135°,  то есть
β = 54°.  Тогда  ∠ACB = 90° – ∠ABC = 36°.


Ответ

B = 54°,  ∠C = 36°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
год/номер
Номер 2 (2010)
тур
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .