Задача 65070

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Богданов И.И.

На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC выбрана точка K так, что  AB = AK.  Отрезок AK пересекает биссектрису CL в её середине.
Найдите острые углы треугольника ABC.

Решение

  Обозначим середину биссектрисы CL через P, а угол ABC через β; тогда  ∠ACL = ½ (90° – β).  В прямоугольном треугольнике ACL отрезок AP является медианой, поэтому  AP = CP = LP.  Теперь из равнобедренных треугольников APL и ABK получаем
∠ALP = ∠LAP = ∠BAK = 180° – 2∠ABK = 180° – 2β.
  С другой стороны,  ∠ALP = ∠ABC + ∠LCB  как внешний угол в треугольнике BCL. Значит,  180° – 2β = β + ½ (90° – β),  откуда ^5β/₂ = 135°,  то есть
β = 54°.  Тогда  ∠ACB = 90° – ∠ABC = 36°.

Ответ

∠B = 54°,  ∠C = 36°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
год/номер
Номер	2 (2010)
тур
задача
Номер	3