|
|
 |
Условие
В вершинах куба расставили числа 1², 2², ..., 8² (в каждую из вершин – по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений.
Решение
Раскрасим вершины куба в два цвета так, чтобы концы каждого ребра были разноцветными. Пусть в вершинах одного цвета стоят числа a1, a2, a3, a4, а в вершинах другого – числа b1, b2, b3, b4, причём числа с одинаковыми номерами стоят в противоположных вершинах. Тогда, как легко проверить, указанная в условии сумма произведений будет равна (a1 + a2 + a3 + a4)(b1 + b2 + b3 + b4) – (a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4). По неравенству Коши
С другой стороны, сумма S = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4, где ai и bi – числа 1², 2², ..., 8², минимальна тогда, когда 8² умножается на 1², 7² – на 2², 6² – на 3², 5² – на 4² (2). В самом деле, пусть 8² умножается на a², а 1² – на b². Понятно, что умножив 8² на 1², а a² – на b², мы уменьшим сумму S. Затем аналогично показываем, что мы уменьшим S, умножив 7² на 2², и т.д.
В силу того, что 1² + 4² + 6² + 7² = 102 = 2² + 3² + 5² + 8², можно добиться одновременного выполнения условия максимальности (1) и условия минимальности (2): для этого надо в вершины одного цвета поставить числа 1², 4², 6² и 7², а в вершины другого – остальные таким образом, чтобы 8² и 1², 7² и 2², 6² и 3², 5² и 4² стояли в противоположных вершинах. Такая расстановка и даст искомый максимум сумм произведений, равный
102² – (8²·1² + 7²·2² + 6²·3² + 5²·4²) = 10404 – 984 = 9420.
Ответ
9420.
Замечания
Тот факт, что числа 1², 2², ..., 8² можно разбить на две группы по 4 числа с равными суммами чисел, не случаен. Заметим, что (n + 1)² – n² = 2n + 1, поэтому ((n + 3)² – (n + 2)²) – ((n + 1)² – n2) = (2n + 5) – (2n + 1) = 4 при любом n. Отсюда 4² – 3² – 2² + 4² = 8² – 7² – 6² + 5².
