Задача 65081

Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы B и D равны,  CD = 4BC,  а биссектриса угла A проходит через середину стороны CD.
Чему может быть равно отношение  AD : AB?

Решение

Обозначим через M середину стороны CD. Рассмотрим на луче AB точку K, симметричную точке D относительно прямой AM. Поскольку
∠ABC = ∠ADM = ∠AKM,  то  BC || KM  и точка K лежит на отрезке AB. Поскольку  CM = DM = KM,  то  ∠DKC = 90°  и  KC || AM.  Следовательно, у треугольников AKM и KBC стороны соответственно параллельны, поэтому они подобны с коэффициентом   k = ^KM/_BC = 2,  откуда  AD = AK = 2KB  и
AD : AB = 2 : 3.

Ответ

2 : 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
год/номер
Номер	2 (2010)
тур
задача
Номер	6