ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65091
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что
PC = 2PN.  Докажите, что  АР = ВС.


Решение 1

Построим параллелограмм AKBP. Его диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть пересекаются в точке N и  PK = 2PN = PC.  Пусть прямые MB и CK пересекаются в точке T. Поскольку  MT || AK,  то MT – средняя линия треугольника AKC, откуда  KT = TC.  Значит, PT – медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника KPC, откуда  PTCK.  Следовательно, BT – медиана и высота треугольника BKC, значит,  AP = BK = BC.


Решение 2

Обозначим через G точку пересечения медиан треугольника ABC. Тогда  CG : GN = 2 = CP : PN.  Значит, PG – биссектриса угла CPN. Следовательно,
BPN = ∠BPC.  Пусть X – середина PC. Тогда треугольники NPM и XPM равны по двум сторонам и углу между ними. Равные отрезки XM и NM являются средними линиями в треугольниках APC и ABC, значит,  AP = 2XM = 2NM = BC.


Решение 3

Рассмотрим такую точку Q, что P – середина AQ. Тогда MP – средняя линия треугольника CAQ, NP – средняя линия треугольника BAQ, значит, BQCP – равнобочная трапеция (BQ параллельна NP, поэтому не параллельна PC). Её диагонали BC и PQ равны, а  PQ = AP.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
тур
Номер 3 (2011 год)
тур
задача
Номер 8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .