|
|
 |
Условие
Юра начертил на клетчатой бумаге прямоугольник (по клеточкам) и нарисовал на нём картину. После этого он нарисовал вокруг картины рамку шириной в одну клеточку (см. рис.). Оказалось, что площадь картины равна площади рамки. Какие размеры могла иметь Юрина картина?
Решение
Очевидно, что ширина картины больше одной клеточки. Нарисуем внутри картины еще одну рамку шириной в одну клеточку (см. рис.). Тогда в маленькой рамке, как и в большой, будет по четыре угловых клеточки (они закрашены), а каждая сторона будет на две клеточки короче. Поэтому в маленькой рамке будет на 8 клеточек меньше, чем в большой (эти клеточки заштрихованы). Значит, из 8 клеточек и составится прямоугольник, образовавшийся внутри маленькой рамки. Очевидно, что прямоугольник площадью 8 клеточек может иметь размеры 2×4 или 1×8. Отсюда ответ.
Ответ
3×10 или 4×6 клеточек.
Замечания
1. Алгебраическое решение. Те, кто уже хорошо знаком с алгеброй, могут получить ответ другим способом. Если картина – прямоугольник a×b клеточек, то картина в рамке – это уже прямоугольник (a + 2)×(b + 2) клеточек, поэтому (a + 2)(b + 2) = 2ab. Раскрывая скобки, получим
2a + 2b + 4 = ab, то есть (a – 2)(b – 2) = 8. Значит, либо одно из чисел a – 2 и b – 2 равно 1, а другое 8, либо же одно из чисел a – 2 и b – 2 равно 2, а другое 4.
2. 8 баллов.
