ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65112
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?


Решение

  Среди пяти подряд идущих натуральных чисел могут найтись 4 интересных числа. Например, суммы цифр чисел 199, 200, 201, 202, 203 равны 19, 2, 3, 4 и 5.
  Все пять чисел оказаться интересными не могут. Среди наших этих пяти чисел есть три, лежащих в одном десятке. Их суммы цифр – последовательные числа; значит, все они не могут одновременно быть простыми.


Ответ

4 числа.

Замечания

1. Существуют и другие примеры пяти последовательных чисел, четыре из которых интересны. Более того, число, кратное 10, может стоять на другом месте, как, например, в пятёрке 197, 198, 199, 200, 201. Однако в любом таком примере суммы цифр двух из чисел пятёрки должны быть равны 2 и 3.

2. Доказать, что пять подряд идущих чисел не могут быть интересными, можно и по-другому. Среди наших чисел по крайней мере два имеют чётную сумму цифр (даже если есть переход "через десяток"). Но обе этих суммы не могут равняться 2, поскольку сумму цифр 2 имеют только числа вида 10...010...0 и 20...0, а два таких числа не могут встретиться среди пяти подряд идущих натуральных чисел.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .