ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65114
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В неравнобедренном треугольнике ABC провели биссектрисы угла ABC и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую AC в точках B1 и B2 соответственно. Из точек B1 и B2 провели касательные к окружности ω, вписанной в треугольник ABC, отличные от прямой AC. Они касаются ω в точках K1 и K2 соответственно. Докажите, что точки B, K1 и K2 лежат на одной прямой.


Решение

  Обозначим через I центр окружности ω.
  Пусть D – точка касания ω со стороной AC. Так как прямая BB1 проходит через центр ω, точки D и K1 симметричны относительно этой прямой, то есть BI – биссектриса угла K1BD. Докажем, что BI также является биссектрисой угла K2BD; отсюда будет следовать требуемое.

  Рассмотрим окружность Г, построенную на B2I как на диаметре. Так как  BB1BB2,  а B2K2 и B2D касаются ω, то  ∠B2BI = ∠B2K2I = ∠B2DI = 90°.  Значит, точки I, B, D и K2 лежат на Г. Радиусы ID и IK2 равны, поэтому равны и стягиваемые ими дуги окружности Г. Следовательно,  ∠IBD = ∠IBK2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .