Задача 65114

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

В неравнобедренном треугольнике ABC провели биссектрисы угла ABC и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую AC в точках B₁ и B₂ соответственно. Из точек B₁ и B₂ провели касательные к окружности ω, вписанной в треугольник ABC, отличные от прямой AC. Они касаются ω в точках K₁ и K₂ соответственно. Докажите, что точки B, K₁ и K₂ лежат на одной прямой.

Решение

  Обозначим через I центр окружности ω.
  Пусть D – точка касания ω со стороной AC. Так как прямая BB₁ проходит через центр ω, точки D и K₁ симметричны относительно этой прямой, то есть BI – биссектриса угла K₁BD. Докажем, что BI также является биссектрисой угла K₂BD; отсюда будет следовать требуемое.

  Рассмотрим окружность Г, построенную на B₂I как на диаметре. Так как  BB₁ ⊥ BB₂,  а B₂K₂ и B₂D касаются ω, то  ∠B₂BI = ∠B₂K₂I = ∠B₂DI = 90°.  Значит, точки I, B, D и K₂ лежат на Г. Радиусы ID и IK₂ равны, поэтому равны и стягиваемые ими дуги окружности Г. Следовательно,  ∠IBD = ∠IBK₂.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2014/2015
этап
Вариант	4
класс
Класс	9
задача
Номер	9.4