ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65116
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть BK – биссектриса этого треугольника. Описанная окружность треугольника AKB пересекает вторично сторону BC в точке L. Докажите, что  CB + CL = AB.


Решение 1

  Отложим на продолжении BC за точку C отрезок  CN = LC.  Надо доказать, что  AB = NB.
  Так как четырёхугольник ABLK вписан,  ∠CKB = 180° – ∠ALB = ∠ALC  (рис. слева). С другой стороны, прямоугольные треугольники ACL и ACN равны по двум катетам, так что  ∠ANC = ∠ALC = ∠CKB = 90° – ½ ∠B.  Тогда из треугольника ABN имеем
BAN = 180° – ∠B – ∠ANB = 180° – ∠B – (90° – ½ ∠B) = ∠ANB.  Следовательно,  AB = NB.

           


Решение 2

  Опустим из точки K перпендикуляр KH на гипотенузу AB (рис. справа). Прямоугольные треугольники KCB и KHB равны по гипотенузе и острому углу. Значит,  CB = HB  и  KC = KH.  В описанной окружности четырёхугольника AKLB на хорды AK и KL опираются равные углы, поэтому  AK = KL. Значит, прямоугольные треугольники KHA и KCL равны по катету и гипотенузе, откуда  HA = CL.  Итак,  CB + CL = HB + HA = AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 9.6
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 4
класс
Класс 10
задача
Номер 10.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .