ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65119
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Целые числа a, x1, x2, ..., x13 таковы, что  a = (1 + x1)(1 + x2)...(1 + x13) = (1 – x1)(1 – x2)...(1 – x13).  Докажите, что  ax1x2...x13 = 0.


Решение

  Если какое-то из чисел xi равно 0, утверждение очевидно. Если одно из xi равно ±1, то  a = 0,  и утверждение также верно. В противном случае каждое произведение отрицательно. Поэтому  a² = (1 + x1)(1 + x2)...(1 + x13)(1 – x1)(1 – x2)...(1 – x13)  – отрицательное число (как произведение 13 отрицательных чисел). Противоречие.

Замечания

Из условия не следует, что  a = 0  (даже в случае, если не все xi – нули). Более того, неверно, что при  a ≠ 0  все ненулевые xi разбиваются на пары противоположных. Например,  (1 – 3)(1 + 7)(1 + 8)(1 + 11)·1·1·1·1·1·1·1 = (1 + 3)(1 – 7)(1 – 9)(1 – 11)·1·1·1·1·1·1·1 = –1920.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 4
класс
Класс 10
задача
Номер 10.1
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 4
класс
Класс 11
задача
Номер 11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .