ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65120
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости отметили все вершины правильного n-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого n-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге n-угольник разбился на n треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких n по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?


Решение

  Пусть A1A2...An – данный многоугольник, а S – его центр.
  Покажем, что, если n чётно, то существуют две различные расстановки, при которых соответствующие тройки будут одинаковыми. Тогда Петя не сможет восстановить исходные числа. Поставим в S число 1, а в вершины n-угольника – единицы и двойки чередующимся образом. При сдвиге чисел на один шаг по часовой стрелке тройки  {1, 1, 2}  не изменятся.
  При нечётном n Петя сможет восстановить все числа. Отметим, что число из вершины Ai пишется в двух тройках, а число из S – в n тройках. Значит, только число из S будет встречаться во всех тройках нечётное число раз, и Петя сможет его определить. После этого для каждой пары соседних вершин n -угольника он знает, какие два числа написаны в них. Осталось по этим данным восстановить числа в вершинах. Выписав числа из всех пар соседних вершин, мы получим "удвоенный" набор всех чисел в вершинах. Сравнив его с набором чисел в парах  (A1, A2),  (A3, A4),  ...,
(An–2, An–1),  мы найдём число в вершине An. Аналогично находятся числа в остальных вершинах.


Ответ

При нечётных n.

Замечания

При чётном n есть и другие примеры расстановок чисел с одинаковыми тройками.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 4
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .