Задача 65171

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Построены три круга радиусами 1 с центрами в вершинах треугольника.
Найдите суммарную площадь частей кругов, заключённых внутри треугольника.

Решение

Из условия следует, что построенные круги не пересекаются. Кроме того, высота данного прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна  3·4 : 5 > 1,  значит, каждая часть круга, лежащая внутри треугольника, является сектором радиуса 1, центральный угол которого совпадает с углом треугольника. Так как сумма углов треугольника равна π, то суммарная площадь этих секторов равна площади половины единичного круга, то есть ^π/₂.

Ответ

^π/₂.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1.2