Задача 65182

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Решите в целых числах уравнение  (x² – y²)² = 16y + 1.

Решение

Очевидно,  y ≥ 0,  а  x² ≠ y².  Значит,  16y + 1 = (y² – x²)² ≥ (y² – (y – 1)²)² = (2y – 1)² = 4y² – 4y + 1.  Следовательно,  4y² ≤ 20y,  то есть  y ≤ 5.  Осталось проверить значения y от 0 до 5 и найти сответствующие целые значения x.

Ответ

(± 1, 0),  (± 4, 3),  (± 4; 5).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	10
задача
Номер	10.4.3