Задача 65183

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Разложение на множители ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Найдите все натуральные  n > 2,  для которых многочлен  xⁿ + x² + 1  делится на многочлен  x² + x + 1.

Решение

  Пусть  n = 3k + r,  где  0 ≤ r ≤ 2.  Так как  x^3k+r – x^r = x^r(x^3k – 1)  делится на  x³ – 1  и, тем более, на  x² + x + 1,  то достаточно выяснить, делится ли многочлен  x^r + x² + 1  на  x² + x + 1.
  При  r = 1  это так, а при  r = 0  и  r = 2  соответствующие многочлены  (x² + 2  и  2x² + 1)  на  x² + x + 1  не делятся.

Ответ

n = 3k + 1,  k ∈ N.

Замечания

Можно также найти комплексные корни трёхчлена  x² + x + 1,  а затем, подставив их в многочлен  xⁿ + x² + 1,  потребовать, чтобы его значение равнялось нулю.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	10
задача
Номер	10.5.1